Question

麻烦再帮忙做下这两个证明题，谢谢了，要过程。。

:第一题：设n0是非齐次线性方程组AX=b的一个特解，a1,a2是其导出组AX=0的一个基础解系，试证明（1）n1=n0+a1,n2=n0+a2均是AX=b的解；
（2）n0,n1,n2线性无关。
第二题：设b1=a1,b2=a1+a2,...,br=a1+a2+...+ar,且向量组a1,a2,...,ar线性无关，证明向量组b1,b2,...,br线性无关。

Answer 1

A(n0+a1)=An0+Aa1=b+0=b
A(n0+a2)=An0+Aa2=b+0=b
故两者均为AX=b的解
设存在k0,k1,k2使得
k0n0+k1n1+k2n2=0
则k0n0+k1(n0+a1)+k2(n0+a2)
=(k0+k1+k2)n0+k1a1+k2a2=0
由于n0,a1,a2线性无关显然成立，故
k0+k1+k2=0
k1=0
k2=0
=>k0=k1=k2=0
故n0,n1,n2线性无关

类似上题，设存在k1,...,kr使得
k1b1+..._krbr=0则
k1a1+k2(a1+a2)+...+kr(a1+a2+...+ar)
=(k1+...+kr)a1+...+krar=0
由于a1,...,ar线性无关，故
k1+...+kr=0
k2+...+kr=0
...
kr=0
=>k1=k2=...=kr=0
故向量组b1,b2,...,br线性无关。