Question

已知：等边三角形ABC

（1）P为三角形ABC内任一点，自点P向三边作垂线PD，PE，PF，点D,E,F为垂足。求证：PD+PE+PF等于定值；
（2）若点P在三角形ABC外时，情况又如何？

Answer 1

1.证明：如图，设△ABC的高为h，则S△ABC=AB×h

∵AB×PD+BC×PE+AC×PF=S△ABP+S△PBC+S△APC=S△ABC，AB=BC=AC

∴AB×PD+BC×PE+AC×PF=AB×PD+AB×PE+AB×PF=AB×（PD+PE+PF）=S△ABC

∴AB×（PD+PE+PF）=AB×h

∴PD+PE+PF=h

 

2.证明：AB×PE=S△ABP,BC×PF=S△PBC,AC×PD=S△APC

∵S△ABP+S△PBC-S△APC=S△ABC,AB=BC=AC

∵AB×h=S△ABC（h为△ABC的高）

∴AB×PE+AB×PF-AB×PD=AB×h

∴PE+PF-PD=h

解答完毕，请指教！！！

Answer 2

1）三角形ABC的面积=PD*AB/2+PE*AB/2+PF*AB/2=(PD+PE+PF)*AB/2
所以PD+PE+PF为定值是等边三角形的高