Question

一道难题就高手解惑！我答案看不懂！求解释！

对于两个定义域相同的函数f（x）、g（x），如果存在实数m、n使得h（x）=m•f（x）+n•g（x），则称函数h（x）是由“基函数f（x）、g（x）”生成的．

（3）如果给定实系数基函数f（x）=k1x+b1，g（x）=k2x+b2（k1k2≠0），问：任意一个一次函数h（x）是否都可以由它们生成？请给出你的结论并说明理由．

（3）如果给定实系数基函数f（x）=k1x+b1，g（x）=k2x+b2（k1k2≠0），则任意一个一次函数h（x）都可以由它们生成．
证明：设任意一个一次函数h（x）=kx+h，且k≠0，
假设h（x）=mf（x）+ng（x），则有 kx+h=mk1x+mb1 +nk2x+nb2，解得 m=

k+m•b1•k 2-hk 2
k1b 2
，n=

k•b1•k 2+m b12 k 2
k1b2 2
．

这说明，无论给任何一个一次函数 h（x）=kx+b，都可以用基函数f（x）=k1x+b1，g（x）=k2x+b2（k1k2≠0）来表示，问题得证．

答案看不懂 求高手解释啊？
我看不懂的是
n=k•b1•k 2+m b12 k 2 / k1b2 2

中间有m这个变量 怎么能判断n一定存在呢？

Answer 1

先给说第一个问题：
解答中说假设：h（x）=mf（x）+ng（x） (1)
这意味着，若确实存在m,n使得上式成立，那说明h(x)确实可以由f（x），g（x）表示.

而(1)式进一步化成
kx+h=mk1x+mb1 +nk2x+nb2
即
kx+h=(mk1+nk2)x+(mb1 +nb2) (2)
(2)式对任意的x都是成立的，特别对x=0也成立，于是将x=0代入(2)式得
h=mb1 +nb2 (3)
再将x=1代入(2)式根据(3)又可得到
k=mk1+nk2 (4)
联立(3)和(4)得到以m,n为未知量的方程组，解出来就行了.

题目中的答案有点乱，你还是按我说的这种方法自己去计算一下吧.
仔细体会一下.

追问

我就是不懂怎么解啊 消去参数m或者n后得到n(b2k1-b1k2)=bk1-kb1 然后怎么做？

追答

n(b2k1-b1k2)=bk1-kb1 两边同除以(b2k1-b1k2),那么n不就求出来了吗?同样的方法可以求出m的.
这里要注意一个问题，那就是得保证(b2k1-b1k2)不为零. 这个问题已经解决，因为条件中也说了f（x）=k1x+b1，g（x）=k2x+b2是基函数，那就意味着(b2k1-b1k2)不为零.

追问

不不不 题目中说了k1和k2不等于0 但是没说过b1 b2不等于0 如果b1=0且b2=0 那么就是无解

追答

b2k1-b1k2一定不等于零的. 否则若b2k1-b1k2＝0，则必有
k1：k2 =b1：b2
那就意味着存在一个常数a，使得f(x)=ag(x)，或者g(x)=af(x)。
这显然与f(x)和g(x)是基函数相矛盾的. 基函数应该是线性无关的才对.

追问

若b2k1-b1k2＝0，则必有
k1：k2 =b1：b2

这不是必有啊----------b1=0 b2=0 不是就成立了吗？说明存在一个一次函数不能由两个基函数生成

追答

实际上b1和b2等于不等于0，我们完全可以不管它，“只要b2k1-b1k2不等于零”, 我们讨论的方程组就有解了。我们讨论的方程组有解了，任意一次函数h(x)就可以用f(x)和g(x)表示了。不知你为什么老是想着b1和b2等于不等于0的问题.　不要在这里讨论了，你已经追问了三次了。若还有什么不明白的问题，我们可以通过私信来讨论.