Question

问一个线性代数的题目

设A=(1 4 2)，求A的100次方，我算出来的对应特征值1的矩阵是(0 4 2)
0 -3 4 0 -4 4
0 4 3 0 4 2
那这个矩阵对应的特征向量是不是x2=x3=0,x1任意取，希望给出一个计算过程谢谢了！

Answer 1

是的，x2=x3=0，x1取1即可，这样对应于特征值1的特征向量是a1=(1,0,0)T。再求出对应于特征值5的特征向量a2=(2,1,2)T，对应于特征值-5的特征向量a3=(1,-2,1)T。取矩阵P=(a1,a2,a3)，则(P逆)AP=diag(1,5,-5)，所以A^100=P diag(1,5^100,5^100) (P逆)

Answer 2

我计算了，此矩阵不能对角化。原因是：矩阵A有两个特征值1和5，5是重特征值，但是它只有一个特征向量，所以A没有完全特征向量系，不能对角化。
所以要考虑直接进行矩阵乘积，然后找规律。求了A的4次幂似乎有规律，但又进行不下去了！

结论：别做了，题目可能错了！

追问

特征值是1，-5和5。。。题目没有错的你再算算

追答

我算的特征值还是1,5,5啊？！