Question

二次函数综合题

抛物线y=ax²+bx+c经过A（－√3 ，0）、B（3√3 ，0）、C（0，3）三点，线段BC与抛物线的对称轴l相交于点D。设抛物线的顶点为P，连接PA、AD、DP，线段AD与y轴相交于点E。 （1）求该抛物线的解析 式； （2）在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以Q、C、D为顶点的三角形与△ADP全等？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由； （3）将∠CED绕点E顺时针旋转，边EC旋转后与线段BC相交于点M，边ED旋转后与对称轴l相交于点N，连接PM、DN，若PM＝2DN，求点N的坐标

Answer 1

（1）带入三点坐标，解方程得y=-x²/3+（2√3）x/3+3
（2）因为过过A（－√3 ，0）、B（3√3 ，0），所以，对称轴为直线x=√3，直线BC的解析式为
y=-(√3)x/3+3，所以D点坐标为(√3,2)，由抛物线解析式易得P点坐标为(√3,4)，CD=2，AD=4，
AP=2√7，DP=6，因为CD≠△ADP中任何一条边，所以△CDQ无法≌△ADP，所以不存在点Q
（3）直线AD解析式为y=(√3)x/3+1，所以E点坐标为(0,1)，CE=ED=CD=2，所以∠CED=60º，设N点坐标为(√3,k)，DN=|2-k|,，PM=|4-2k|，因为M在直线BC上，所以M点坐标为(√3+√3*|2-k|,4-|2-k|)或(√3-√3*|2-k|,4+|2-k|)，因为∠MEN=60º，若学过余弦定理则算出三条边的长度解绝对值方程，若没学过余弦定理，则算出EM，EN解析式，带入到角公式，解出k即可~

追问

（3）根据B、D的坐标，容易判断出△CDE是等边三角形，然后通过证△CEM、△DEN全等来得出CM=DN，首先设出点M的坐标，表示出PM、CM的长，由PM=2DN=2CM列方程确定点M的坐标，进一步得到CM的长后，即可得出DN的长，由此求得点N的坐标．