Question

若函数f(x)=a∧x（a﹥1）定义域与值域均为[m，n]，求a范围

大哥，别用导数，我才上高一呀

Answer 1

首先声明，本人凭感觉做的哈，不保证正确~

a>1 图如上 光看函数，值域为（0，+∞），单调递增

所以f(m)=m  ; f(n)=n

可以看成g(x)= x 

又题目中f(x)=a^x

则两函数的图像应该有且仅有一个交点

对g(x)和f(x)取对数，并令两者相等，得lnx=xlna

即lnx/x=lna 

又a>1  lnx单调递增（图如上），则求lnx/x的最值即可

不好意思哈，不求导没法做

对x求导，有1-lnx=0 得x=e 时取最值

将x=e 代入lnx/x 得最值1/e 

所以lna<=1/e 

所以a<=e^(1/e）

综上所述，a取值范围（a，e^(1/e)]

Answer 2

由于f(x)=a^x(a>1)对于x属于R单调递增，所以由题可知：f(m)=m,f(n)=n。所以a^m=m,a^n=n。所以曲线y=a^x与直线y=x有两个交点。观察y=a^x曲线族，会发现当y=a^x与y=x相切是临界状况。而当a=e^(1/e)时，两线相切。故a的范围是(1,e^(1/e))

追问

a=e^(1/e)怎么得出的？

追答

导数。