Question

如图,点C在以AB为直径的半圆O上,延长BC到点D,使得CD=BC,过点D作DE⊥AB于点E,交AC于点F,点G为DF的中点,

连接CG、OF、FB （1）求证：CG是⊙O的切线；
（2）若△AFB的面积是△DCG的面积的2倍，求证：OF∥BC．

Answer 1

（1）连接OC
由∠BED=∠ACB，∠ABC=∠DBE 则 ⊿ACB∽⊿DBE，所以，∠BAC=∠EDB
由∠FCD=90°，DG=GF，则，DG=CG，∠CGD=∠GCD
另，由AO=OC，∠BAC=∠EDB 所以，⊿ACO∽⊿CDG
由∠CGD=∠GCD+∠GDC
∠COB=∠CAB+∠OCA，有∠COB=∠CGF
由CG=GF，OC=OB，那么，⊿OCB∽⊿CGF
则有∠OCB=∠CGF
由∠OCB+∠OCA=∠OCA+∠FCG=90°,那么，CG与⊙O相切
（2）由DG=GF，则有S⊿CDG=S⊿CGF=1/2S⊿FCD
AC⊥CB，CB=CD，那么，⊿FCD≌⊿FCB，进而有S⊿CDG=1/2S⊿FCB
如果S⊿AFB=2*S⊿CDG，则有，S⊿AFB=S⊿FCB
由于⊿FCB与⊿AFB有相同的高，那么AF=FC
由AO=OC，那么，OF⊥AC，而BC⊥AC，那么有OF∥BC