如图,已知抛物线y=x^2-2x-3与x轴交于A、B两点(A在B的左侧),与y轴交于C点。 (1)设
如图,已知抛物线y=x^2-2x-3与x轴交于A、B两点(A在B的左侧),与y轴交于C点。(1)设点D在抛物线的对称轴上,当三角形BCD的面积=三角形ACB的面积时,求D...
如图,已知抛物线y=x^2-2x-3与x轴交于A、B两点(A在B的左侧),与y轴交于C点。
(1)设点D在抛物线的对称轴上,当三角形BCD的面积=三角形ACB的面积时,求D的坐标;
(2)若点P在已知抛物线的对称轴上,当角BPC为钝角时,求点P的纵坐标的取值范围。 展开
(1)设点D在抛物线的对称轴上,当三角形BCD的面积=三角形ACB的面积时,求D的坐标;
(2)若点P在已知抛物线的对称轴上,当角BPC为钝角时,求点P的纵坐标的取值范围。 展开
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(1)x²-2x-3=0,得
x1=3,x2=﹣1
∴A(﹣1,0),B(3,0),C(0,﹣3)
∴抛物线的对称轴为 x=﹙﹣1+3﹚/2=1
设D的坐标为(1,b)
△ACB的面积S1=AB·OC/2=4×3÷2=6
直线BC的函数为y=x-3
∵OC=OB=3
∴BC=3√2
D到直线BC的距离d=︳1-b-3︳/√[1²+﹙﹣1﹚²]=︳b+2︳/√2
∴S△BCD=BC·d/2=3√2×︳b+2︳/√2÷2=3︳b+2︳/2=6
∴︳b+2︳=4 即(b+2)²=16
∴b=2 或 b=﹣6
∴D的坐标为(1,2)或(1,﹣6)
(2)设P的坐标为(1,a)
当∠BPC=90°时,
PB²+PC²=BC²=18
PB²=﹙1-3﹚²+﹙a-0﹚²=a²+4
PC²=﹙1-0﹚²+﹙a+3﹚²=a²+6a+10
∴a²+4+a²+6a+10=2a²+6a+14=18
即 a²+3a-2=0
∴a=﹙-3+√17﹚/2 或a=﹙-3-√17﹚/2
∴当角BPC为钝角时,a的取值范围为
﹙﹙-3-√17﹚/2 ,﹙-3+√17﹚/2 ﹚
x1=3,x2=﹣1
∴A(﹣1,0),B(3,0),C(0,﹣3)
∴抛物线的对称轴为 x=﹙﹣1+3﹚/2=1
设D的坐标为(1,b)
△ACB的面积S1=AB·OC/2=4×3÷2=6
直线BC的函数为y=x-3
∵OC=OB=3
∴BC=3√2
D到直线BC的距离d=︳1-b-3︳/√[1²+﹙﹣1﹚²]=︳b+2︳/√2
∴S△BCD=BC·d/2=3√2×︳b+2︳/√2÷2=3︳b+2︳/2=6
∴︳b+2︳=4 即(b+2)²=16
∴b=2 或 b=﹣6
∴D的坐标为(1,2)或(1,﹣6)
(2)设P的坐标为(1,a)
当∠BPC=90°时,
PB²+PC²=BC²=18
PB²=﹙1-3﹚²+﹙a-0﹚²=a²+4
PC²=﹙1-0﹚²+﹙a+3﹚²=a²+6a+10
∴a²+4+a²+6a+10=2a²+6a+14=18
即 a²+3a-2=0
∴a=﹙-3+√17﹚/2 或a=﹙-3-√17﹚/2
∴当角BPC为钝角时,a的取值范围为
﹙﹙-3-√17﹚/2 ,﹙-3+√17﹚/2 ﹚
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(1)求出过C(0,-3),B(3,0)两点的直线关系式
过A(-1,0)作BC的平行线,交对称轴X=1于D(1,M),
(其实就是将直线BC向左平移4个单位经过A)
求得直线AD的关系式,从而求得D(1,2)
因为三角形BCD与三角形ACB是等底等高,所以面积相等。
由于直线X=1(也就是对称轴)与直线CB交于(1,-2)
于是得到D(1,2)关于(1,-2)的对称点(1,-6)
所以 D(1,2)或(1,-6)
过A(-1,0)作BC的平行线,交对称轴X=1于D(1,M),
(其实就是将直线BC向左平移4个单位经过A)
求得直线AD的关系式,从而求得D(1,2)
因为三角形BCD与三角形ACB是等底等高,所以面积相等。
由于直线X=1(也就是对称轴)与直线CB交于(1,-2)
于是得到D(1,2)关于(1,-2)的对称点(1,-6)
所以 D(1,2)或(1,-6)
追问
第二小题呢?
追答
(2) 设P(1,M)在第一象限内,且三角形CPB是直角三角形,∠CPB=90
则有CP的平方=1+(M+3)的平方
PB的平方=M的平方+4
因为 三角形CPB是直角三角形,∠CPB=90
所以 CB的平方=CP的平方+PB的平方
所以,求得M的值,
同样的方法求得P(1,M)在第四象限内M的值
显然,当角BPC为钝角时,P的纵坐标的取值范围就是第四象限M的值与第一象限M的值之间(不包含)
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D【1,-6】或【1,2】
要 二分之﹙三加根号17﹚大于Y大于 二分之﹙三减根号17﹚
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