Question

直线y-ax-1=0和双曲线3x²-y²=1相交于A、B两点。（1）当a为何值时，以AB为直径的圆过原点。

直线y-ax-1=0和双曲线3x²-y²=1相交于A、B两点。（1）当a为何值时，以AB为直径的圆过原点。（2）是否存在这样的实数a，使得两交点A、B关于y=x对称。若存在，求出a；若不存在，说明理由。

Answer 1

y=ax＋1代入双曲线，得：
3x²－(ax＋1)²=1
(3－a²)x²－2ax－2=0
则：
x1＋x2=(2a)/(3－a²)、x1x2=2/(a²－3)
因以AB为直径的圆过原点，则：
OA垂直OB【这里是向量】，因OA=(x1，y1)、OB=(x2，y2)，则：
x1x2＋y1y2=0
x1x2＋(ax1＋1)(ax2＋1)=0
(1＋a²)(x1x2)＋a(x1＋x2)＋1=0
代入，化简，得：
a=±1

追问

还有第二小题

追答

由于A、B关于直线y=x对称，则：a=－1
此时直线是：x＋y－1=0
代入双曲线，得：
2x²＋2x－2=0
即：
x²＋x－1=0
解这个方程研究下就可以了【存在】

追问

谢谢了

追答

不客气。