求证：sin(α+β）sin(α-β）=sin²α-sin²β
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证明：
sin(α+β）sin(α-β）
=(sinαcosβ+cosαsinβ)*(sinαcosβ-cosαsinβ)
=sin²αcos²β-cos²αsin²β
=sin²α(1-sin²β)-(1-sin²α)sin²β
=sin²α-sin²α*sin²β-sin²β+sin²α*sin²β
=sin²α-sin²β
∴ sin(α+β）sin(α-β）=sin²α-sin²β
sin(α+β）sin(α-β）
=(sinαcosβ+cosαsinβ)*(sinαcosβ-cosαsinβ)
=sin²αcos²β-cos²αsin²β
=sin²α(1-sin²β)-(1-sin²α)sin²β
=sin²α-sin²α*sin²β-sin²β+sin²α*sin²β
=sin²α-sin²β
∴ sin(α+β）sin(α-β）=sin²α-sin²β
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追问
sin²α(1-sin²β)-(1-sin²α)sin²β
是怎么得来的?
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cos²β=1-sin²β (同角关系式)
cos²α=1-cos²α (同角关系式)
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sin(α+β）sin(α-β）
=-{cos[(α+β）+(α-β)]-cos[(α+β）-(α-β)]}/2
=-{cos2α-cos2β}/2
=-{1-2sin²α-(1-2sin²β)}/2
=-{1-2sin²α-1+2sin²β}/2
=-(-2sin²α+2sin²β)/2
=-(-sin²α+sin²β)
=sin²α-sin²β
=-{cos[(α+β）+(α-β)]-cos[(α+β）-(α-β)]}/2
=-{cos2α-cos2β}/2
=-{1-2sin²α-(1-2sin²β)}/2
=-{1-2sin²α-1+2sin²β}/2
=-(-2sin²α+2sin²β)/2
=-(-sin²α+sin²β)
=sin²α-sin²β
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sin(α+β）sin(α-β）=(sinαcosβ+cosαsinβ)(sinαcosβ-cosαsinβ)=sin²αcos²β-cos²αsin²β-sinαcosβcosαsinβ+sinαcosβcosαsinβ=sin²αcos²β-cos²αsin²β=sin²α(1-sin²β)-(1-sin²α)sin²β=sin²α-sin²αsin²β-sin²β+sin²αsin²β=sin²α-sin²β
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