Question

初中数学竞赛题

在△ABC，∠ABC=70°，∠ACB=30°，P,Q为三角形内两点，∠QBC=∠QCB=10°，∠PBQ=∠PCB=20°，求证，A,P,Q三点共线。

Answer 1

1、延伸BQ,交AC于K
根据正弦定理有:
QC/BC=sin10/sin160
BC/AC=sin80/sin70
所以QC/AC=(sin10sin80)/(sin160sin70)=(2sin10cos10)/(2sin70cos70)=sin20/sin140
KC/QC=sin20/sin140
所以在△KCQ与△QCA中，有一个公共角，且相邻两边成比例，两个三角形相似，
所以∠QAC=∠KQC=20度
2、延伸BP,交AC于J
根据正弦定理有:
PB/BC=sin20/sin130
BC/AB=sin80/sin30
所以PB/AB=(sin20sin80)/(sin130sin30)=[cos60-cos100)/(cos100-cos160)
AB/BJ=sin60/sin80
sin80(sin20sin80)-sin60(sin130sin30)
=0.5sin80(cos60-cos100)-0.5sin60(cos100-cos160)
=0.5sin80cos60-0.5sin80cos100-0.5sin60cos100+0.5sin60cos160
=0.5sin100cos60-0.5sin60cos100+0.5sin60cos160-0.5sin80cos100
=sin40+(sin220-sin100)-(sin180-sin100)
=sin40+(-sin40-sin100)-(0-sin100)
=0
PB/AB=AB/BJ
所以在△PBA与△ABJ中，有一个公共角，且相邻两边成比例，两个三角形相似，
所以∠BAP=∠BJA=60度
所以∠PAC=20度
所以A，P，Q三点共线打的好累啊，不懂再问哦

追问

高手啊 ，真心感谢你

追答

没关系，我之前也做过这一题，一模一样，我就写下来了

Answer 2

题目好像不对吧？
∠QCB＋∠PCB=30°=∠ACB