Question

已知函数f(x)=ax^2+bx+4在[-1,+∞)是单调增函数,在(-∞,-1]上是单调减函数,且当x1

已知函数f(x)=ax^2+bx+4在[-1,+∞)是单调增函数,在(-∞,-1]上是单调减函数,且当x1<x2，x1+x2=1-a时，有f（x1）<f（x2），则实数a的取值范围是？？

Answer 1

函数f(x)=ax^2+bx+4在[-1,+∞)是单调增函数,在(-∞,-1]上是单调减函数
则f(x)是开口向上，对称轴为x=-1的抛物线
所以，a>0，-b/2a=-1
得：a>0，b=2a
所以，f(x)=ax²+2ax+4
要使得：f(x1)<f(x2)
则x1到对称轴的距离d1小于x2到对称轴的距离d2，对称轴为x=-1
d1=|x1-(-1)|，d2=|x2-(-1)|
d1<d2
即：|x1+1|<|x2+1|
x1+x2=1-a，得：x2=1-a-x1
又x1<x2，即：x1<1-a-x1
得：x1<(1-a)/2
把x2=1-a-x1代入|x1+1|<|x2+1|得：
|x1+1|<|2-a-x1|
则：(x1+1)²<(2-a-x1)²
x1²+2x1+1<(2-a)²-2(2-a)x1+x1²
a²-4a+3-(6-2a)x1>0
(a-1)(a-3)+2(a-3)x1>0
(a-3)(a-1+2x1)>0
因为x1<(1-a)/2
所以，2x1<1-a
则：a-1+2x1<a-1+1-a=0
即：a-1+2x1<0
所以，要使得：(a-3)(a-1+2x1)>0
则：a-3<0
得：a<3
又因为a>0
所以，a的取值范围是：0<a<3

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O