Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD‖BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD＝21。动点P从点D出发，沿射线DA的方向以

如图，在直角梯形ABCD中，AD‖BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD＝21。动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动的时间为t（秒）。
（1）当t=2s时，求△BPQ的面积;
（2）若点A，B，Q，P，Q构成的四边形为平行四边形，求运动时间t;
（3）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？

Answer 1

【解】（1）过点P作PM⊥BC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形。∴PM=DC=12
∵QB＝=6-t，∴S=(1/2)×12×(16-t)=96-6t
t=2,S=96-12=84.

(2)四边形ABQP为平行四边形
AP=BQ
AB-BP=BC-QC
21-2t=16-t
t=5

（3）由图可知： CM=PD=2t，CQ=t，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，分三种情况：
①若PQ=BQ。在Rt△PMQ中，PQ²=t²+12²，由PQ²=BQ²得t²+12²=(16-t)²，解得t=7/2；
②若BP=BQ。在Rt△PMB中，BP²=(16-t)²+12²。由BP²＝BQ²得：
(16-2t)²+12²=(16-t)²即3t²-32t+144=0。
由于Δ＜00 ∴无解
∴PB≠BQ
③若PB=PQ。由PB²=PQ²，得t²+12²=(16-2t)²+12²
整理，得3t²-64t+256=0。解得t1=16/3,t2=16（不合题意，舍去）
综上可知：当t=7/2秒 或 t=16/3秒时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形。

追问

由于△<00?

追答

△<0

Answer 2

1）当t=2s时，CQ=2
已知BC=16，所以BQ=BC-CQ=14
已知AD//BC，P在AD上，∠C＝90°
所以P到BC的距离=CD=12
所以△BPQ的面积=14*12/2=84
2）要保证ABQP构成平行四边形，则DP-CQ=AD-BC=21-16=5
所以t=5/（2-1）=5 s
3）BPQ为等腰三角形，需要讨论：
当PQ=BP，
过P做PM⊥BC于M，即BM=MQ
已知P点的运动速度为2，Q点的运动速度为1
所以DP=CM=2*CQ
所以CQ=MQ
所以CQ=BC/3=16/3
所以t=16/3 s
当PQ=BQ
设：时间为t
则：CQ=t，BQ=16-t
PQ=√（144+t^2）
所以：144+t^2=(16-t)^2
144=256-32t
9=16-2t
t=7/2 s
当BQ=BP
设：时间为t
则： CQ=t，BQ=16-t
DP=2t，BP=√[144+（16-2t）^2]
所以：144+（16-2t）^2=（16-t）^2
144+ 256-64t+4t^2=256-32t+t^2
3t^2-32t+144=0
无实数解，即不存在BQ=BP的情况