Question

（1）利用因式分解计算：1-2²+3²-4²……+99²-100²+101²

（2）已知x³+x²+x+1=0，求1+x+x²+x³……+x^2005的值

Answer 1

解：1）原式=1+(3²-2²)+(5²-4²)+......+(99²-98²)+(101²-100²)
=1+(3+2)(3-2)+(5+4)(5-4)+......+(99+98)(99-98)+(101+100)(101-100)
=1+3+2+5+4+......+99+98+101+100
=(1+101)×101÷2
=5151
2）因为x³+x²+x+1=0
所以(x+1)(x²+1)=0
又因为x²+1>0
所以x+1=0,x=-1
所以，1+x+x²+x³……+x^2005
=1-1+1-1+......+1-1+1-1
=0

Answer 2

(1)
1 + (3² - 2²) + (5² - 4²) + ... + (101² - 100²)
= 1 + (3 + 2)(3 - 2) + (5 + 4)(5 - 4) + ... + (101 + 100)(101 - 100)
= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 100 + 101
= 101 x 102 / 2
= 5151

(2)
x³ + x² + x + 1 = 0
x²(x + 1) + (x + 1) = 0
(x² + 1)(x + 1) = 0
x = -1 or x = i or x = -i

1 + x + x² + x³ + ... + x^2005
= (1 + x + x² + x³) + x^4(1 + x + x² + x³) + ... + x^2000(1 + x + x² + x³) + x^2004 + x^2005
= 0 + 0 + ... + x^2004 + x^2005
= x^2004 + x^2005

当 x = -1, 原式 = 1 - 1 = 0
当 x = i, 原式 = 1 + i
当 x = -i, 原式 = 1 - i

Answer 3

1-2²+3²-4²……+99²-100²+101²=(3-2)(3+2)+(5-4)(5+4)...+(101-100)(101+100)+1²
=(2+3....+99+100+101)+1²
=(2+101)/2*100+1²
=5150+1=5151

x³+x²+x+1=0
x²(x+1)+x+1=0
(x²+1)(x+1)=0
x=-1
1+x+x²+x³……+x^2005=1-1+1-1+.....+1-1=0

Answer 4

1. 原式=1+(2+3)+(4+5)+...+(100+101)=1+5+9+...+201=(1+201)*51/2=5151
2 x(x^2+1)+(x^2+1)=0,(x^2+1)(x+1)=0∴x=-1
∴原式=1-1+1-1+...-1=0