Question

如图，直线y=√3x/3+4与x轴、y轴分别交于点A，点B，以直线AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，

∠BAC=90°，在坐标平面内有一点P（a，2）且△ABP的面积与△ABC的面积相等。
求a的值

Answer 1

由y=（-√3/3）x+1，

令y=0，x=√3，∴A（√3，0）

令x=0，y=1，∴B（0，1）∴AB=√[（√3）²+1²]=2，

过A作AC⊥AB，且AC=AB=2，

S△ABC=2²×1/2=2.

设P（a，1/2），过P作PQ⊥x轴于Q，Q（a，0）

△PQA的面积：S1=（√3-a）×1/2×1/2=（√3-a）/4，

四边形ABPQ面积S=△ABO+梯形OBPQ，

=1×√3÷2+(1+1/2)(-a)÷2

=√3/2-3a/4,

也可以表示为S=△APQ+△ABP（∵△ABP=△ABC=2）

=（√3-a）/4+2，

∴√3/2-3a/4=（√3-a）/4+2，

a=（√3-8）/2.