Question

证明不等式，看图，提示，用二项式定理

当自然数n>=6时成立

Answer 1

左边的不等式 利用 k*(n-k)< (n/2)^2, k=1,2,..., [n/2]. 都乘起来， 即可。

右边不等式 可以取对数后利用积分 做。 但都没用到二项式定理。

追问

请给详细过程，左边的我会，右边不清楚

追答

ln1 + ln2 + ....+ lnn
> 积分（从0到n） lnx dx // 因为 lnx 是增函数， ln(i) >积分（从i-1到i） lnx dx
= xlnx（从0到n） - 积分（从0到n) x d lnx
= nlnn - n

==>
n! > e^(nlnn - n)=n^n / e^n =(n/e)^n > (n/3)^n

Answer 2

当N=5时，（5/2）^5=97.65625，5!=120，（5/3）^5=12.86，不等式不成立
当N=6时，3^6=729>6!=720>2^6=64，不等式成立
用数学归纳法可以试着证明一下的

追问

用数学归纳我就不用问了……