Question

如图,在平面直角坐标系中,以原点O为圆心,1为半径的圆与X轴交于A,B两点。抛物线经过

如图,在平面直角坐标系中,以原点O为圆心,1为半径的圆与X轴交于A,B两点。抛物线经过A,B两点，与圆在第一象限交于点C，已知点C的横坐标为1/2(1)求点C的坐标及这条抛物线的函数解析式(2)在X轴上方的抛物线上存在点P,使得∠APB＞90°,试求点P的横坐标的取值范围(3)在抛物线上是否存在点G,过D做GH⊥X轴于点H,使A,G,H三点为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,请求出点G的坐标;若不存在请说明理由.

Answer 1

分析：（1）因为点C在半径为1的圆上，且点C横坐标为
1
2
，所以点C的纵坐标为

3

2
，迟竖即点C的坐标为（
1
2
，

3

2
）以原点为圆心，半径为1的圆与X轴的交点为（-1，0） （1，0）.设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-1）把点C的坐标代入，解得a=−
2
3

3
.则抛物线的解析式为y=−
2
3

3
（x+1）（x-1）（2）因为点C在圆上，且AB是圆的直径，所以∠ACB=90°
则当点P在抛物线上且在圆内戚旦陆时，∠APB＞90°，抛物线是关于X轴对称的，所以点P的横坐标取值范围是：-1＜x＜-
1
2
或
1
2
＜x＜1（3）由题得：AC=
3
，BC=1设点G的横坐标为x，则纵坐标为−
2
3

3
x2+
2
3

3
若△AGH∽△BAC时，解得x=
1
4
，此时点G的坐标为（
1
4
，
5
3

8
）若△AGH∽△ABC时，解得x=0，此时点G的坐标为（高顷0，
2
3

3
）

Answer 2

1.y=-2x^+2
当X=1/2时，y=2/3
C(1/2,2/3)