Question

“复数本身不等于正弦函数，复数只是对应的表示一个正弦量”，怎么理解？

复数与正弦量有什么区别？复数表示对应的正弦量，而正弦量可能超出复数的范围，是这个意思吗？望诸位指教！

Answer 1

不知道楼主的这个问题是什么地方来的，是老师出的题吗？

1、所有的三角函数都只是无量纲的比例式而已。
即使在复数中，它是虚部的模跟实部的比例，这个比例值自然是实数。

2、从五a四到现在快百年了，可是我们的思想依然牢牢停留在清bc末，
翻开我们所有的教科书，特别是高中的教科书，我们对虚数的教学，
一直莫名其妙地停留在最最原始的起点上左右徘徊，永远不肯前进一步，
一直死死纠缠在几个无聊的问题上：

第一个严重误导：虚数是不存在的，误导视听。

说这些话的人，一般都有两个明显的特征：一方面不懂理论物理、
理论化学，不懂电子、电机、电气等等工程科学，以主观的直觉
断然否定虚数的存在，这些人犯了严重的方法论的错误，他们的
直觉是跟所谓的“实数”对应的，他们不知道他们脑中的“实数”
其实也只是一个先入为主的概念，自然界没有任何地方显示出实
数的1，2，3，、、等等数字的直接证据。同样地，自然对虚
数也没有直接证据，但是间接的证据，如同实数一般，有很多很
多，上面提到的学科中，都有大量的实验事实，间接证明虚数的
存在。可是我们的倾向性太强了，我们的理智就退居下风了。

第二个严重误导：另起 炉灶，混淆视听。

现代数学、科学的发展，不是我们所能主导的，我们的研究属于
外围，离世界科学中心的距离十分遥远，很多人索性破罐子破摔，
我们在最低的层次上另起炉灶、胡搅蛮缠，例子举不胜举。就说
2+3i 吧，楼主看看各个网上百科，看看我们的教科书，问问我们
千千万万的网友，看看是不是压倒性的认为2+3i是虚数？其中的
2是实部，3是虚数？所以一个虚数含有实部，也含有虚部？实部
是实数，虚部是虚数？所以虚数就包括了实数跟虚数？看了后，
只要仔细一思考，就会毛骨悚然，我们的系统逻辑出了天大的问
题，可是我们的教师们还蒙在鼓里、鼓在梦里！糊里糊涂，稀里
糊涂，梦里梦咚，混里混咚！他们居然是多数！他们会歪理凿凿！
他们会群情激昂！他们会义愤填膺！他们会口诛笔伐！他们会骂
爹骂娘。不信就试一试。

第三个严重误导：原地踏步，阻碍视听

看看所有的高中复数考题，就立马发现，所有的题都有共同的特色，
共同的目的：拉回到原点，打回到原型。永远没有就虚数论虚数的
讲下去，原理、特性、运用，通通把虚数题打回到实数题，永远地
停滞不前！

还有太多太多的误导，写上厚厚的几本天书也写不完。

3、从上面的简单分析，可以看到，我们的老师们，他们一方面教虚数，
一方面时时刻刻提醒自己：虚数是不存在的！虚数是虚的！是想象的！
是假的！自然解是没有的，是数学上的一种运算而已、、、、、、、、
在如此这般诸多魔a咒的限制下，思想崩溃了，理智僵a固了，创造性死亡了！
所以，草草了事，匆匆收场，花拳绣腿一般，还不忘提醒学生：虚数不存在！

虚数是魔咒，虚数是梦魇，虚数是鬼魂！所以，原本是兢兢业业的老师们，
任劳任怨的老师们，用心良苦的老师们，却用极其善良的愿望，极其勤恳
的态度，踏踏实实地却又事与愿违地彻底毁灭了大批大批莘莘学子的天赋。

关于复数：
1、复数complex number是由实数real number跟虚数imaginary number组成，
开始时我讲过，所有的三角函数都是比值，用在复数中，是虚数部分的系数
比上实数部分，结果还是实数。

2、所有的三角涵数，包括所有的对数、指数等等，都可以用复数表示，
例如 sin 3 = [e^(3i) - e^(-3i)] / 2i，这样的表达，是复数形式，因为引入了
e，很多运算，Euler在几百年前，就解决所有的基本运算的问题，涉及到
微积分时，就更得感激他了。所有的运算都是带虚数进行的，如果化简，
仍然可以得出sinx当初的实数形式。但是我们要到最后才化简，原因有二：
一是带虚数运算，可以解决很多实数运算时解决不了的问题；
二是虚数运算可以把实数运算中遗漏的项找回，这些在交流电中显而易见。

总结：
正弦函数，可以是复数形式的，可以是实数形式的，它本身是实数形式的！
用虚数形式，有时是简便，有时是提供新的方法，有时是解决实数运算无法
解决的问题。

由于问题的内容十分庞大，在此无法讲解得淋漓尽致。
虚数结合微积分，几乎涉及到现代数学的所有领域，名称是Complex Variables，
Complex Calculus，、、、汉译《复变函数》，基本正确，但不完全确切。

附：

从本命题可以看出，这就是试图将学生拉回原点的千千万万个试题中的一个。
表面上是澄清概念，事实上，是起到了打回原形，固化住学生的思想的作用。
至少使得学生无法在抽象的层次上，继续信马由缰地思维下去、开拓下去。
很多教师，真的是呕心沥血，肝脑涂地，一心一意在栽培学生，而结果却
事与愿违，不但没有开拓学生的思想，反而一再念紧箍咒，限制他们的思维。

当然，洋人也常常有好心做坏事的时候，never touch！never touch！
不知道葬送了多少洋学生的creative的精神！好心害学生，居然异曲同工。

呜呼哀哉！

不知道该如何解释，其实也是不能解释，一解释的话，在国内依然有很多
很多人政治思维、政治的神经特别发达的情况下，无论解释者的初衷多么
单纯，多么善良，都会被骂得体无完肤，都会被上纲上线到应该立刻去地
狱见阎王的程度。

简答至此，欢迎追问。