Question

已知:5sinα=3sin(α-2β)(β≠kπ+π/2,k∈z)求证:tan(α-β)+4tanβ=0,速求

Answer 1

5sin(α-β+β)=3sin(α-β-β)
5(sin(α-β)cosβ+cos(α-β)sinβ)=3(sin(α-β)cosβ-cos(α-β)sinβ)
5sin(α-β)cosβ+5cos(α-β)sinβ=3sin(α-β)cosβ-3cos(α-β)sinβ)
2sin(α-β)cosβ+8cos(α-β)sinβ=0
sin(α-β)cosβ+4cos(α-β)sinβ=0
因为 β≠kπ+π/2,k∈z，
所以 cosβ≠0
1、如果α-β≠kπ+π/2,k∈z，
则cos(α-β)≠0
上式二边同除 cos(α-β)cosβ，得：
tan(α-β)+4tanβ=0
2、如果α-β=kπ+π/2,k∈z，
则 cos(α-β)=0，sin(α-β)=1 或 sin(α-β)=-1
上式即为 cosβ=0，β=kπ+π/2,k∈z，与题设矛盾。

Answer 2

解：5sinα=5sin（α-β+β）=5sin(α-β)cosβ+5sinβcos(α-β)
3sin(α-2β)=3sin(α-β-β)=3sin(α-β)cosβ-3sinβcos(α-β)
又因为5sinα=3sin(α-2β)
所以5sin(α-β)cosβ+5sinβcos(α-β)=3sin(α-β)cosβ-3sinβcos(α-β)
2sin(α-β)cosβ=-8sinβcos(α-β) 因为(β≠kπ+π/2,k∈z)所以cosβ≠0
所以有tan(α-β)=-4tanβ
即证tan(α-β)+4tanβ=0