Question

已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的一个焦点F(1,0)且离心率1/2。

1，求椭圆方程。2，若M为椭圆左顶点，过焦点F作斜率k=1的直线与椭圆交于A,B两点，直线AM、BM与直线x=m（m大于2）分别交于P、Q两点，且FP垂直FQ,求m的值

Answer 1

显然焦距半焦距c=1,由e=1/2=c/a;因此a=2，那么b^2=a^2-c^2,得到b^2=3
那么方程为x^2/4+y^2/3=1.

由点斜式方程得到直线AB的方程为y=x-1,和椭圆返程联立的到
x1x2=-8/7.;x1+x2=8/7;
不妨设A坐标为（x1,x1-1）B坐标为（x2,x2-1）
那么MA的方程为y=(x1-1)/(x1+1) *(x+1),MBf返程为y=(x2-1)/(x2+1) *(x+1)
那么P,Q坐标分别为（m , (x1-1)/(x1+1) *(m+1)）（m , (x2-1)/(x2+1) *(m+1)）
那么直线FP的斜率为(x1-1)/(x1+1) *(m+1)/（m-1）
直线FQ的斜率为(x2-1)/(x2+1) *(m+1)/（m-1）
由于FP，FQ垂直。
那么有(x1-1)/(x1+1) *(m+1)/（m-1）×(x2-1)/(x2+1) *(m+1)/（m-1）=-1
（x1x2-(x1+x2)+1）/（x1x2+(x1+x2)+1）=-((m-1)/（m+1）)^2
(-7/8-7/8+1)/(-7/8+7/8+1)=-((m-1)/（m+1）)^2
因此((m-1)/（m+1）)^2=3/4
考虑m>2.因此m=7+4根号3