∫∫∫(x^2+y^2)dxdydz，区域是由x^2+y^2=z,z=4围成的，怎么算？
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解：∵积分空间区域是由x^2+y^2=z,z=4围成的
∴此空间区域投影到xy平面的区域是S：x²+y²=4
于是，作柱面坐标变换：x=rcosθ，y=rsinθ，z=z (0≤θ≤2π，0≤r≤2，r²≤z≤4)
故∫∫∫(x^2+y^2)dxdydz=∫<0,2π>dθ∫<0,2>dr∫<r²,4>r²*rdz
=2π∫<0,2>r³(4-r²)dr
=2π∫<0,2>(4r³-r^5)dr
=2π(2^4-2^6/6)
=2π(16/3)
=32π/3。
∴此空间区域投影到xy平面的区域是S：x²+y²=4
于是，作柱面坐标变换：x=rcosθ，y=rsinθ，z=z (0≤θ≤2π，0≤r≤2，r²≤z≤4)
故∫∫∫(x^2+y^2)dxdydz=∫<0,2π>dθ∫<0,2>dr∫<r²,4>r²*rdz
=2π∫<0,2>r³(4-r²)dr
=2π∫<0,2>(4r³-r^5)dr
=2π(2^4-2^6/6)
=2π(16/3)
=32π/3。
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追问
标准答案啊嘿嘿
就是还是不明白我说的那个方法可不可以？
追答
你的方法是错误的！
∵用你的方法做：原式=4∫∫∫dxdydz=4∫dθ∫rdr∫dz
=4*(2π)∫r(4-r²)dr
=8π(2*2²-2^4/4)
=8π*4
=32π
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