Question

幂函数的导数公式的证明

证明：y=x^a
两边取对数lny=alnx
两边对x求导(1/y)*y'=a/x
所以y'=ay/x=ax^a/x=ax^(a-1)
中的对x求导是什么意思啊？？？？
还有，两边对x求导时得到的(1/y)*y'=a/x为什么要乘以y'啊

Answer 1

解答：

1、y = f(x) 表示的是 y 是 x 函数；
2、y 对 x 求导，我们习惯写成y‘，国际上绝大多数国家习惯写成 dy/dx；
3、国际上也有少数国家习惯简写的导数表达式 y’，而我们是执着于 y‘，执迷于 y‘；
4、执着的结果，我们很多学生，不知道 y’ 的真正含义是 dy/dx，是无穷小之商；
5、由于很多教师并不讲究教学心理学、对教学法不屑一顾，很多学生就失去了本能的悟性；
6、lny 首先是 y 的函数，y 又是 x 的函数，所以，lny 也是 x 的函数；
7、lny 是一目了然的，是显而易见的，是直截了当的，所以称它为显函数，explicit function；
8、设 u = lny，u 是 y 的显函数，它也是 x 的函数，由于是隐含的，称为隐函数，implicit；
9、u 对 y 求导是 1/y，这是对 y 求导，不是对 x 求导；
10、u 是 x 的隐函数，u 对 x 求导，用链式求导，chain rule；
11、u 对 x 的求导，是先对 y 求导，然后乘上 y 对 x 的求导，也就是：
du/dy = 1/y
du/dx = (du/dy) × (dy/dx) = (1/y) × y' = (1/y)y'。

欢迎追问。