Question

已知函数f(x)=1-a/(3的x次方)+1是奇函数.(1)求a的值;(2)证明:f(x)是R上的增函数

已知函数f(x)=1-a/(3的x次方)+1是奇函数.(1)求a的值;(2)证明:f(x)是R上的增函数；(3)党x属于[-2,2)时，求函数f(x)的值域；(4)求不等式f[log1/2 (3-x)]+f[1/3.log2(3-x)-2/3]>=0的解集.(四问 要过程)

Answer 1

（1）显然f(x)定义域为R
则f(-x)=1-[a*3^x/(3^x+1)]
因f(x)为奇函数，则有f(-x)=-f(x)
即有1-[a*3^x/(3^x+1)]=a/(3^x+1)-1
即有a(3^x+1)/(3^x+1)=2
因3^x>0
则a=2

另法：
因f(x)是R上的奇函数
则f(0)=0
即f(0)=1-a/(3^0+1)=0
得a=2

（2）由（1）易知f(x)=1-2/(3^x+1)
令x1<x2
因f(x2)-f(x1)
=[1-2/(3^x2+1)]-[1-2/(3^x1+1)]
=2(3^x2-3^x1)/[(3^x2+1)(3^x1+1)]
而因y=3^x为增函数且t>0
即有0<3^x1<3^x2
则f(x2)-f(x1)>0
表明f(x)在R上为增函数

（3）显然f(-2)=1-2/[3^(-2)+1]=-4/5
因f(x)为奇函数，则f(2)=4/5
而f(x)在R上增函数，则f(x)在[-2，2)上也为增函数
所以当x∈[-2,2)时，-4/5≤f(x)<4/5

（4）要确保不等式有意义
则3-x>0，即x<3

因f(x)为奇函数，则f[log1/2 (3-x)]=-f[-log1/2 (3-x)]
由原不等式有f[(1/3)log2(3-x)-2/3]≥f[-log1/2 (3-x)]
又f(x)为增函数，由单调性定义有(1/3)log2(3-x)-2/3≥-log1/2 (3-x)
注意到-log1/2 (3-x)=log1/2 (3-x)^(-1)=log2 (3-x)
所以有log2 (3-x)≤-1
即有log2 (3-x)≤log2(1/2)
考虑到y=log2(x)为增函数
于是有3-x≤1/2
即有x≥5/2

综上知不等式的解为5/2≤x<3

Answer 2

Answer 3