Question

计算：（2+1）（2²+1）（2^4+1） (2^8+1) . . . ( 2^256+1)

详细答案 每一步这么做的原因 答得好有加分

Answer 1

本题直接算显然不太可能，因为一共有256项，思路：如果能找到办法将256个项减小，则可计算了
。根据(a-b)(a+b)=a²-b²可知，该公式和本题有相似之处，又观察到：(a²-b²)(a²+b²)=a^4-b^4，依次相乘，可减小项数。
解：
S=（2+1）（2²+1）（2^4+1） (2^8+1) . . . ( 2^256+1)
(2-1)S=(2-1)（2+1）（2²+1）（2^4+1） (2^8+1) . . . ( 2^256+1)
(2-1)S=（2²-1）（2²+1）（2^4+1） (2^8+1) . . . ( 2^256+1)
(2-1)S=（2^4-1）(2^4+1） (2^8+1) . . . ( 2^256+1)
...........
(2-1)S=( 2^256-1)( 2^256+1)=2^512+1
S=2^512+1

追问

（2²-1）（2²+1）为什么等于（2^4-1）

追答

(a-b)(a+b)=a²-b²
套公式啊

Answer 2

一个数乘以1仍是其本身
故原式=（2-1）×（2+1）×（2²+1）×……×（2^256+1）
=（2²-1）×（2²+1）×（2^4+1）×……×（2^256+1）
=……
=2^512-1
有个公式叫平方差公式你知道吧

追问

多写几步