Question

已知函数f(x)=e^x-2ax+1 (1)求f(x)的单调增区间 （2）是否存在实数a，使f(x)在（-2,3)上为减函数？

若存在，求出a的取值范围

提示该问答中所提及的号码未经验证，请注意甄别。

Answer 1

f(x) = e^x -2ax+1
在单调增区间内，f '(x) = e^x - 2a >= 0
e^x >= 2a
若 a > 0, 两边取对数：　 x >= ln(2a)
所以，当 x >= ln(2a), f(x) 为单调增函数
若 a <= 0, 设 b = -a, b >= 0, f '(x) = e^x + 2b > 0
所以，当 x 为实数时, f(x) 为严格增函数

如果 f(x) 在(-2, 3) 区间内为减函数，f '(x) = e^x - 2a <= 0
e^x <= 2a, a >= (e^x)/2
设g(x) = e^x，因为 g'(x) = e^x > 0，所以 e^x 为严格增函数，
e^3 > e^(-2)
所以，当 a > = (e^3)/2, f(x) 在{x | x < 3} 区间内为减函数, 当然包括(-2, 3) 。

Answer 2

⑴f(x)=e^x-2ax+1
f'(x)=e^x-2a>0 e^x>2a
a≤0 e^x>2a恒成立即 X∈R时f(x)是增函数
a＞0 X＞㏑2a f(x)是增函数
⑵e^x-2a＜0
a>e^x/2
∴a>e³/2

Answer 3

f'(x)=e^x-2a

当a≤0时f'(x)>0 f(x)在定义域内递增；

当a>0时
令f'(x)=0 解得x=ln(2a)
当x<ln(2a)时f'(x)<0 ,f(x)递减；
当x≥ln(2a)时f'(x)≥0,f(x)递增；

如果f(x)在-2到3上是减函数，
显然a>0
并且有ln(2a)≥3，a≥(1/2)e^3

Answer 4

(1) f(x)=e^x-2a

(2) f(x)在(-2,3)上严格单减 ==> 当x∈(-2,3)时，f'(x)<0
又函数y=e^x在(-2,3)上严格单增，a满足条件e^3-2a<0,，即a>0.5e^3
所以，存在实数a∈{a|a>0.5e^3}满足条件。

Answer 5

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