Question

矩阵特征值的重数怎样计算

网上有的说特征值个数就是它的重数（即代数重数是特征值个数）
但书上求相似对角矩阵步骤中有：矩阵A有s个不同的特征值λ1、λ2......λs，它们的重数分别是n1,n2......ns,
n1+n2+......+ns=n
请问书上的一个特征值有一个重数，岂不是与网上说的矛盾，特征值重数到底该怎样计算？请指教

Answer 1

不矛盾. 网上说的是对某一个特征值
你就按书上的理解就可以
比如
|A-λE| = λ(1-λ)^2 (2+λ)^3
则A 的特征值为 0,1,1,-2,-2,-2
即 重根按重数计

追问

那么|A-λE| = λ(1-λ)^2 (2+λ)^3 的重数就是r=6啰？

追答

0 是一重特征值
1 是2重特征值
-2 是3重特征值

Answer 2

对于 $n$ 阶矩阵 $A$，其特征多项式为 $f(\\lambda)=\\det(\\lambda I - A)$，其中 $I$ 是 $n$ 阶单位矩阵。矩阵 $A$ 的特征值是 $f(\\lambda)=0$ 的根。因此，若 $\\lambda$ 是 $A$ 的特征值并且 $f(\\lambda)$ 的重数为 $r$，那么 $(\\lambda I - A)^r$ 的行列式是 $0$。反之，如果 $(\\lambda I - A)^r$ 的行列式为 $0$，则 $\\lambda$ 是 $A$ 的特征值并且 $f(\\lambda)$ 的重数大于等于 $r$。因此，我们可以通过求解 $(\\lambda I - A)^r$ 的行列式来确定 $A$ 的某个特征值 $\\lambda$ 的重数。