Question

判断级数lnn/(n^2+1) 的敛散性

Answer 1

正项级数n从1到∞求和ln（（n+1）/n）收敛的充要条件是部分和数列Sk有界。但Sk=n从1到k求和ln（（n+1）/n）=ln（k+1），当k取无穷时，Sk无界，所以n从1到∞求和ln（（n+1）/n）发散。从而n从1到∞求和ln（n/（n+1））发散。

发散级数

作为分析学的领域，本质上关心的是明确而且自然的技巧，例如阿贝尔可和法、切萨罗可和法、波莱尔可和法以及相关对象。维纳陶伯型定理的出现标志着这一分支步入了新的阶段，它引出了傅里叶分析中巴拿赫代数与可和法间出乎意料的联系。

发散级数的求和作为数值技巧也与插值法和序列变换相关，这类技巧的例子有：帕德近似、Levin类序列变换以及与量子力学中高阶微扰论的重整化技巧相关的依序映射。

Answer 2

ln(n)=o(n)，即ln(n)远小于n。
而n/(n^2+1)~n/n^2=1/n收敛于0，因此ln(n)/(n^2+1)收敛于0。

如果你要说的是级数求和的收敛性，也是收敛的。
ln(n)=o(n^(1/2))，即ln(n)远小于n^(1/2)。

而n^(1/2)/(n^2+1)~n^(1/2)/n^2=n^(-3/2)求和是收敛的，因此ln(n)/(n^2+1)的求和也是收敛的。

Answer 3

limn^(3/2)lnn/(n^2+1)
=lim((3/2)n^(1/2)+n^(1/2))/(2n)
=0,所以级数收敛

追问

额，不好意思，没怎么看懂，你是想说它与1/n^(3/2)的敛散性相同，那这是怎么得到的，这是一个结论吗？

追答

实际上就是与1/n^(3/2)比较。这是比较判别法的极限形式

Answer 4

=ln(1/(n+1/n))
因为n+1/n对号函数，最小值为2，最大无穷
所以 1/(n+1/n)取值范围在0-1/2之间
所以收敛

追问

额，你是上下同时除以了n吗，这好像没啥用啊...

追答

ln里上下同除n

追问

我的题目是lnn除以n平方加1