Question

如图，AB是圆O的直径，C是半圆的中点，连接AC,BC，D是弧AC上一点，AE⊥CD,BF⊥CD，垂足分别为E、F

（1）求证EF=AE+BF
（2）若ED=1,BF=3，求圆O的半径

Answer 1

设BF交弧BC于G，连接AG，做OH垂直于CD，交CD于H，那么有CH=HD。
并且AE//OH//BF,考虑AO=OB，那么EH=HB，并且=OH。
那么只要证明2OH=EF即可。
ΔCEA和ΔBCF中
AC=BC；∠AEF=∠EFB=90;∠ACE=180-∠ACB-∠BCF=90-∠BCF=∠CBF;
因此ΔCEA和ΔBCF全等，所以ΔEFO为等腰三角形CE=FB。
考虑EH=HF；OH⊥EF，所以因此OE=OF
ΔCEO和ΔBOF中
OE=OF；EC=FB；OC=OB；

ΔCEO和ΔBOF全等，所以∠OEC=∠OFB
所以∠OEC+∠OFC=∠OFB+∠OFC=90
所以∠EOF=90，所以ΔEFO为等腰直角三角形。
考虑OH为ΔEFO斜边的中线，因此2OH=EF。
那么EF=AE+BF。

DE=EH-DH=FH-CH=CF=AE=1
EF=AE+BF=4，OH=EH=EF/2=2，DH=EH-ED=1，圆O的半径DO=根号(DH^2+OH^2)=根号5

Answer 2

不会，我才上初一。