Question

已知椭圆4x²+y²=1及直线l:y=＝x+m （1）当直线l和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围

（2）当m=1时，求直线l被椭圆截得的弦长

Answer 1

将y = x + m代入4x² + y² = 1中
4x² + (x + m)² = 1
5x² + 2mx + (m² - 1) = 0
有公共点即Δ ≥ 0
[2m]² - 4[5][m² - 1] ≥ 0
- 4(4m² - 5) ≥ 0
4m² - 5 ≤ 0
m² ≤ 5/4
- √5/2 ≤ m ≤ √5/2

当m = 1时，y = x + 1，同样代入
4x² + (x + 1)² = 1
5x² + 2x = 0
x = - 2/5 或 x = 0
y = 3/5 或 y = 1
弦长 = √[(- 2/5 - 0)² + (3/5 - 1)²] = (2√2)/5

Answer 2

（1）直线方程代入椭圆方程，得到的一元二次方程5x^2+2mx+m^2-1=0有解时有公共点。即m不为0且4m^2-20(m^2-1)>=0
(2)x=0，-2/5得到两个交点（0,1) (-2/5,3/5)计算两点距离，得到弦长2/5根号2