Question

非齐次线性方程组Ax=b,对于任何b都有解，和零空间的维数的关系

假设一个含有9个线性方程，10个未知数的非齐次线性方程组对右边所有可能的常数均有解，相应的齐次方程组可以找到两个不成倍数的解吗？ 为什么

Answer 1

设A的列向量组为a1,a2,...,a10，均为9维列向量。则方程组可表示为
a1x1+a2x2+...+a10x10=b
若对于任何b都有解，即任何9维向量b都可以由向量组a1,a2,...,a10线性表示，
特别的，9维单位坐标向量组也以由向量组a1,a2,...,a10线性表示，
但a1,a2,...,a10必可由9维单位坐标向量组线性表示，
故a1,a2,...,a10与9维单位坐标向量组等价
从而向量组a1,a2,...,a10的秩等于9维单位坐标向量组的秩，即等于9
相应的齐次方程组为10元方程组，其系数矩阵的秩R(A)=9,
故其基础解系中只有一个非零向量，故其通解都是这个解的倍数。
所以相应的齐次方程组找不到两个不成倍数的解。