Question

如图,在等边△ABC中,点D,E分别在边BC,AB上,且BD=AE,AD与CE交于点F, (1)求

如图,在等边△ABC中,点D,E分别在边BC,AB上,且BD=AE,AD与CE交于点F,
(1)求证AD=CE
(2)求<DFC的度数

Answer 1

解：（1）因为等边△ABC
所以AB=AC=BC，∠B=∠BAC=∠ACB=60°
在△ABD和△CAE中
AB=AC，∠B=∠BAC，BD=AE
所以△ABD全等于△CAE（SAS）
所以AD=CE
（2）由（1）知△ABD全等于△CAE
所以∠BAD=∠ACE
又由（1）知∠BAC=60°
所以∠BAD+∠CAD=60°
所以∠ACE+∠CAD=60°
因为∠ACE+∠CAD=∠DFC（三角形的外角）
所以∠DFC=60°

追问

如图,延长△ABC的各边,使得BF=AC,AE=CD=AB,顺次连接点D.E.F,得到△DEF为等边三角形.求证△ABC为等边三角形.

追答

∵BF=AC，AB=AE（已知）
∴FA=EC（等量代换）．
∵△DEF是等边三角形（已知），
∴EF=DE（等边三角形的性质）．
又∵AE=CD（已知），
∴△AEF≌△CDE（SSS）．
由△AEF≌△CDE，得∠FEA=∠EDC（对应角相等），
∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF（等量代换），
△DEF是等边三角形（已知），
∴∠DEF=60°（等边三角形的性质），
∴∠BCA=60°（等量代换），
同理可得∠BAC=60°．
∴△ABC中，AB=BC（等角对等边）．
∴△ABC是等边三角形（等边三角形的判定）．
∵∠EFA+∠DFA=∠EFA+∠FEA=60°
∴∠DFA=+FEA,
又BF=AC=AB=AE,EF=DF
∴△AEF≌△BDF（SAS）
∴△AEF≌△CDE≌△BDF
∴AF=CE=BD，AE=BF=CD
∴AF-BF=CE-AE=BD-CD
∴AB=AC=BC
∴△ABC等边
打了那么多，一定要采用啊！！！