Question

不定积分公式的问题

请问这两个公式有什么不同啊？

Answer 1

你是习惯了内地的写法吧
内地一般的自然对数写作lnx，反三角函数都是arcsinx、arccosx等等...
而以10为底的对数则是logx

而采用logx表示自然对数的通常都是欧美等西方国家，因为这个表达式比较常用
有时还会写作log_e(x)，e是底数部分
反而以10为底的对数的写法，他们有时会写作log₁₀x，因为这个较少用到
sin⁻¹x就是反三角正弦函数，即arcsinx，也是西方惯用的写法
因为反函数通常都用ƒ⁻¹(x)表示的，那个⁻¹就代表反函数了
所以有sin⁻¹x，cos⁻¹x，tan⁻¹x，csc⁻¹x等等
而港澳的写法也大致是这样
自然对数用lnx表示，而反三角函数则用sin⁻¹x、cos⁻¹x等等表示

所以sinx的倒数自然不会写成sin⁻¹x，应写作(sinx)⁻¹才是的
注意sin⁻¹x ≠ (sinx)⁻¹
对于反三角函数的次方，会写作(sin⁻¹x)²、(sin⁻¹x)^(1/3)等等
而不是sin^(-1)(2)(x)、sin^(- 1)(1/3)(x)
或许许多人都会将自然对数的倒数写成ln⁻¹x，但这样也容易造成误会，最好也写作(lnx)⁻¹
而次方也最好在括号外面，例如(lnx)²，(lnx)^(1/3)等等
某些考试如果写作ln²x，ln⁻³x可能会扣分的

所以这两个积分，以内地所学的表达方式来写，就是：
∫ 1/sinx dx = ∫ (sinx)⁻¹ dx = ln|tan(x/2)| + C
∫ arcsinx dx = x • arcsinx + √(1 - x²) + C

Answer 2

下面的sin负一是指arcsin，反正弦函数，跟（sinx）-1不同！