Question

高中数学 导数公式证明步骤

4．y=logax
Δy=loga(x+Δx)-logax=loga(x+Δx)/x=loga[(1+Δx/x)^x]/x
Δy/Δx=loga[(1+Δx/x)^(x/Δx)]/x
因为当Δx→0时，Δx/x趋向于0而x/Δx趋向于∞，所以limΔx→0loga(1+Δx/x)^(x/Δx)=logae,所以有
limΔx→0Δy/Δx=logae/x。
也可以进一步用换底公式
limΔx→0Δy/Δx=logae/x=lne/(x*lna)=1/(x*lna)=(x*lna)^(-1)
可以知道，当a=e时有y=lnx y'=1/x。
这时可以进行y=x^n y'=nx^(n-1)的推导了。因为y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,
所以y'=e^nlnx·(nlnx)'=x^n·n/x=nx^(n-1)。
5.y=sinx
Δy=sin(x+Δx)-sinx=2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)
Δy/Δx=2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)/Δx=cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)/(Δx/2)
所以limΔx→0Δy/Δx=limΔx→0cos(x+Δx/2)·limΔx→0sin(Δx/2)/(Δx/2)=cosx

这是y=logax和y=sinx的证明步骤 我有些不明白，请问： loga(x+Δx)/x=loga[(1+Δx/x)^x]/x是怎么回事？
为什么e^nlnx·(nlnx)'=x^n·n/x？求详解 谢谢！

Answer 1

　　4. 你的
"Δy=loga(x+Δx)-logax=loga(x+Δx)/x=loga[(1+Δx/x)^x]/x"
有笔误，应该是：对函数
　　　y = log_a_x (= lnx/lna)，
有
　　　Δy = log_a_(x+Δx)-log_a_x = log_a_(1+Δx/x) = ln(1+Δx/x)/lna，
而
　　　Δy/Δx = [ln(1+Δx/x)/lna]/Δx= (1/lna)*ln[(1+Δx/x)^(x/Δx)]/x = (1/xlna)*ln[(1+Δx/x)^(x/Δx)]，
于是，
　　　lim(Δx→0)[Δy/Δx]
　　= [1/(xlna)]*lim(Δx→0)ln[(1+Δx/x)^(x/Δx)]
　　= [1/(xlna)]*lne = 1/(xlna)。
据此，对函数
　　　y = e^ln(x^n) = e^(nlnx)
利用复合函数求导法，可得
　　　y' = e^(nlnx)*(nlnx)' = (x^n)*(n/x) = nx^(n-1)。

　　5. 对 y = sinx，利用三角函数的和差化积公式
　　　Δy = sin(x+Δx)-sinx=2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)，
　　　Δy/Δx = 2[cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)]/Δx = cos(x+Δx/2)[sin(Δx/2)/(Δx/2)]，
这样，
　　 lim(Δx→0)Δy/Δx = lim(Δx→0)cos(x+Δx/2)*lim(Δx→0)[sin(Δx/2)/(Δx/2)] = cosx*1 = cosx。

追问

你好呀 别的都明白 就是为什么lim(Δx→0)cos(x+Δx/2)*lim(Δx→0)[sin(Δx/2)/(Δx/2)] = cosx*1

求解答&详细过程 谢谢

追答

　　因为
　　lim(Δx→0)cos(x+Δx/2) = cosx，
　　lim(Δx→0)[sin(Δx/2)/(Δx/2)] =1。

Answer 2

loga(x+Δx)/x
=loga(1+Δx/x) 这是将分母上的x放在括号内
=[ xloga(1+Δx/x) ]/x 这是上式的分子分母同乘以x
=loga[(1+Δx/x)^x]/x 这是将对数式前的系数x 放到真数上作为真数的指数

e^nlnx·(nlnx)'
=(e^lnx)^n·(n/x) 前一部分用公式a^(xy)=(a^y)^x，后一部分是求导公式(lnx)'=1/x
=x^n·(n/x) 用的是公式a^(logax)=x