Question

已知函数f（x）=x²-1/x，（1）证明函数的奇偶性（2）证明函数f（x）在（0，+∞）上是增函数

Answer 1

是f(x)=(x²-1)/x吧？
1、
定义域为{x|x≠0}，关于原点对称
f(-x)=(x²-1)/(-x)=(1-x²)/x=-f(x)
所以，f(x)是奇函数。

2、
f(x)=(x²-1)/x=x-1/x
令0<x1<x2
则：f(x1)-f(x2)=x1-1/x1-(x2-1/x2)
=x1-1/x1-x2+1/x2
=x1-x2+(1/x2-1/x1)
=(x1-x2)+(x1-x2)/x1x2
=(x1-x2)(1+1/x1x2)
=(x1-x2)(x1x2+1)/x1x2
因为0<x1<x2
所以，x1-x2<0，x1x2>0，x1x2+1>0
所以，f(x1)-f(x2)<0
即：f(x1)<f(x2)
所以，f(x)在（0，+∞）上是增函数

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O

追问

f(x)=(x²-1)/x=x-1/x 这步里面的x²-1/x应该不能化简吧

追答

难道x²不在分子上？
是f(x)=x²-1/x还是f(x)=(x²-1)/x？

追问

是（x²-1）/x

追答

那就可以分别除啊：(b-c)/a=b/a-c/a
所以：(x²-1)/x=x-1/x

Answer 2

（1）f（-x）=(-x)²-1/(-x)= -f（x）所以是奇函数
（2）设0﹤X1﹤X2
f(X1)-f(X2)=X2(X1²-1)-X1(X2²-1)/X1X2
=X2X1²+X1-X1X2²-X2/X1X2
=(X1-X2)(X1X2+1)/X1X2
﹤0
所以f(X1)﹤f(X2)
又因为0﹤X1﹤X2
所以函数f（x）在（0，+∞）上是增函数

追问

不好意思，应该是（x²-1）/x