Question

已知a为实数，函数f(x)=e^x -2x+2a,x属于R.(1)求f(x)的单调区间与极值，（2

已知a为实数，函数f(x)=e^x -2x+2a,x属于R.(1)求f(x)的单调区间与极值，（2）求证：当a>ln2 -1.且x>0时，e^x>x^2-2ax+1

Answer 1

f(x)=e^x-2x+2a
f'(x)=e^x-2=0,x=ln2
在(-∞,ln2)内,f'(x)<0,函数单调递减
在(ln2,+∞)内,f'(x)>0,函数单调递增

设函数g(x)=e^x-x^2+2ax-1
g'(x)=e^x-2x+2a=f(x)
f(x)最小值=f(ln2)=2-ln2+2a
a＞ln2-1时,f(ln2)>2-ln2+2(ln2-1)=0
即在(-∞,+∞)内,f(x)最小值>0,f(x)>0恒成立
即在(-∞,+∞)内,g'(x)>0,g(x)单调递增
x>0时,g(x)>g(0)=0
即x＞0时,g(x)=e^x-x^2+2ax-1>0
e^x>x^2-2ax+1成立.