Question

已知△ABC中，∠ACB=90°，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AB。

垂足分别为D、E、F，且OD=OE=OF，FD交直线AC与M，如图,若点O在△ABC内部，求证：AE+CM=AB

Answer 1

证明：∵点O在△ABC内部且OD=OE=OF，∴以O为圆心，OD为半径的圆与△ABC三边都相切，
D，E，F分别是三边上的切点，∴AF=AE，BF=BD，CD=CE。
连接BO，根据切线长定理，BO平分∠B，又∵BF=BD，∴BO⊥DF（等腰三角形三线合一性质）
∵∠BOD和∠BDF都是∠OBD的余角，∴∠BOD=∠BDF=∠CDM。又∵四边形CDOE是正方形，
∴DC=DO，∴ΔBOD≌ΔMDC，∴CM=BD=BF。
∴AE+CM=AF+BF=AB。

追问

初中二年级数学，好像还没有学到切线长定理呢。

追答

那你就要麻烦点，用全等证。比如连接AO,∵OE=OF,AO是公共斜边，∴ΔAOF≌ΔAOE。∴AF=AE
同理可证BF=BD，CD=CE。同时还可以得出BO平分∠B了。

追问

这个方法可行

追答

谢谢，同意请选择满意。