Question

高二数学求解。。。已知F1，F2是椭圆x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）

已知F1，F2是椭圆x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）的左右焦点,点P(1,√2/2)在椭圆上，线段PF1与y轴的交点M满足向量PM=向量MF2
（1）求椭圆标准方程
（2）过F2的直线l交椭圆与A、B两点，且向量AF2=向量2F2B，求直线l方程。

Answer 1

∵向量PM=向量MF2，
∴|PM|=|MF2|，
∴M是F1A的中点，
P(1,√2/2），
设M（0，y0),
F1(-c,0),F2(c,0),
根据中点公式，
0=(-c+1）/2，
∴c=1,
∴椭圆方程为：x^2/a^2+y^2/(a^2-1)=1,
P坐标值代入椭圆方程，
1/a^2+(1/2)/(a^2-1)=1,
2a^4-5a^2+2=0,
(2a^2-1)(a^2-2)=0,
a^2=1/2,a=√2/2<c=1,不符合题意，应舍去，
∴a^2=2,
b^2=a^2-c^2=1,
∴椭圆方程为：x^2/2+y^2=1.
2、右焦点F2（1，0），
设直线方程为：y=k(x-1),
直线与X轴交角为θ，k=tanθ，
e=c/a=√2/2，
作椭圆右准线l，分别作AA1⊥l,BB1⊥l,垂足为A1、B1，作BH⊥AA1，垂足H，
∵向量AF2=向量2F2B，
∴|AF2|=2|BF2|，
根据椭圆第二定义，|AF2|/|AA1|=|BF2|/|BB1|=e,
∴|AF2|/|BF2|=|AA1|/|BB1|=2，
∵|HA1|=|BB1|，
∴|AH|=|AA1|/2，
<A1AB=θ，
|AF2|=2|AB|/3，
|AB|=3|AF2|/2，
cosθ=|AH|/|AB|=（|AA1|/2）/（3|AF2|/2）=（1/3)/(|AF2|/|AA1|=(1/3)/e=√2/3，
sinθ=√（1-2/9）=√7/3，
∴tanθ=（√7/2）/（√2/3）=√14/2，
∴直线方程为：y=（√14/2)(x-1).