Question

证明二元函数可微。

设 lim [f(x,y)-f(0,0)+2x-y]/√x^2+y^2=0证明f(x,y)在点(0,0)处可微。
(x,y)→(0,0)
答案中有一步看不懂，他说：f(x,y)-f(0,0)+2x-y=o(ρ)，（当(x,y)→(0,0)时）可以得到f(x,y)在点(0,0)处可微，请问怎么得出可微的？

Answer 1

二元函数可微的定义是函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增量Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)可以表示成Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)。令x=y=0，则全增量Δz=f(Δx,Δy)-f(0,0)，将符号Δx,Δy换成x,y来表示，则该题中(x,y)→(0,0)时函数f(x,y)的Δz=f(x,y)-f(0,0)=-2x+y+o(ρ)，符合定义的要求，所以f(x,y)在点(0,0)处可微。