已知三阶方程A的特征值为1,2,-1,则|A^3-2A-E|= 5
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题：
已知三阶方程A的特征值为1,2,-1,则|A^3-2A-E|=?
解：
依下面命题3,k为A的特征值，则f(k)=kkk-2k-1为f(A)=AAA-2A-E的特征值。
即：1-2-1=-2, 8-4-1=3, -1+2-1=0
由命题4，|AAA-2A-E|=其各个特征值之积=-2*3*0=0.
命题3：（证明见后）
若方阵A有特征值k, 对应于特征向量ξ，当f(A)为A的幂级数(允许负幂和形式幂级数)时，f(A)的有对应于ξ的特征值f(k).
命题4：对方阵A的特征多项式为f(λ)=|λE-A|，则|A|为f(λ)=0的各个根的乘积。
证：f(0)=|0*E-A|=|-A|=(-1)^n*|A|，故|A|=(-1)^n*f(0).
由一元n次方程的韦达定理，此即为各个根的乘积。
注：f(λ)=0的根，叫做方阵A的特征根，或特征值。
注释：以下命题1，2是为证明命题3。
命题1：k为矩阵A的非零特征值，则k的负一次幂是A逆的特征值对吗？
答：在前提A可逆之下，此命题成立。否则，视A逆为广义逆，估计也成立，我未加严格论证。
我们这里设A可逆。
命题1证明如下：
设方阵A有特征值k, 对应于特征向量ξ，即有Aξ=kξ，故Eξ=A^(-1)*kξ，故A^(-1)*ξ=1/k * ξ
命题一得证。
命题2：方阵A有特征值k, 对应于特征向量ξ，f(A)是关于A的多项式，则：
f(A)的有对应于ξ的特征值f(k).
命题2之证明：设A的特征值k对应于特征向量ξ，即有Aξ=kξ
故AAξ=kAξ=k*kξ，递推得 A^nξ=k^nξ
同理 f(A)ξ=f(k)ξ。得征。
依命题1，命题2，有命题3：
若方阵A有特征值k, 对应于特征向量ξ，当f(A)为A的幂级数(允许负幂和形式幂级数)时，f(A)的有对应于ξ的特征值f(k).
已知三阶方程A的特征值为1,2,-1,则|A^3-2A-E|=?
解：
依下面命题3,k为A的特征值，则f(k)=kkk-2k-1为f(A)=AAA-2A-E的特征值。
即：1-2-1=-2, 8-4-1=3, -1+2-1=0
由命题4，|AAA-2A-E|=其各个特征值之积=-2*3*0=0.
命题3：（证明见后）
若方阵A有特征值k, 对应于特征向量ξ，当f(A)为A的幂级数(允许负幂和形式幂级数)时，f(A)的有对应于ξ的特征值f(k).
命题4：对方阵A的特征多项式为f(λ)=|λE-A|，则|A|为f(λ)=0的各个根的乘积。
证：f(0)=|0*E-A|=|-A|=(-1)^n*|A|，故|A|=(-1)^n*f(0).
由一元n次方程的韦达定理，此即为各个根的乘积。
注：f(λ)=0的根，叫做方阵A的特征根，或特征值。
注释：以下命题1，2是为证明命题3。
命题1：k为矩阵A的非零特征值，则k的负一次幂是A逆的特征值对吗？
答：在前提A可逆之下，此命题成立。否则，视A逆为广义逆，估计也成立，我未加严格论证。
我们这里设A可逆。
命题1证明如下：
设方阵A有特征值k, 对应于特征向量ξ，即有Aξ=kξ，故Eξ=A^(-1)*kξ，故A^(-1)*ξ=1/k * ξ
命题一得证。
命题2：方阵A有特征值k, 对应于特征向量ξ，f(A)是关于A的多项式，则：
f(A)的有对应于ξ的特征值f(k).
命题2之证明：设A的特征值k对应于特征向量ξ，即有Aξ=kξ
故AAξ=kAξ=k*kξ，递推得 A^nξ=k^nξ
同理 f(A)ξ=f(k)ξ。得征。
依命题1，命题2，有命题3：
若方阵A有特征值k, 对应于特征向量ξ，当f(A)为A的幂级数(允许负幂和形式幂级数)时，f(A)的有对应于ξ的特征值f(k).
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