Question

已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的离心率为√3，一条准线方程为x=1，过双曲线的右焦点F

的直线l与双曲线交于两点M,N，且向量FM=-2向量FN。(1) 求双曲线方程(2)求向量MN的绝对值

Answer 1

(1) 由c/a=√3, a^2/c=1,得a=√3, c=3, 所以b=√6双曲线方程为x^2/3-y^2/6=1
(2) 焦点F(3,0), 设直线l为 x=ty+3 (t=1/k)代入双曲线方程， 2(ty+3)^2-y^2-6=0à(2t^2-1)y^2+12ty+12=0 设y1,y2为方程的两根，因为FM=-2FN, 所以y1=-2y2
又y1*y2=-2y2/y2=-2=12/(2t^2-1) ==> t^2=5/12 y1+y2=-12t/(2t^2-1)
|MN|=√(1+t^2)*|y1-y2|=√(1+15/36)*√[(y1+y2)^2-2y1y2]
=√51/6*√[-12t/(2t^2-1)]^2-24/(2t^2-1)]
= √51/6*√[(144t^2-24(2t^2-1))/(2t^2-1)^2]
=√51/6*√(96t^2+24)/|2t^2-1|
=√51/6*√(96*5/12+24)/(1/6)
=√51/6*8*6 = 8√51