Question

求不定积分∫1/x(x²+1)dx

Answer 1

∫1/x(x²+1)dx不定积分是ln|x|-1/2ln|x²＋1|+c

具体步骤如下：

扩展资料：

在微积分中，一个函数f 的不定积分，或原函数，或反导数，是一个导数等于f 的函数 F ，即F ′ = f。

不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。其中F是f的不定积分。

积分公式法：直接利用积分公式求出不定积分。

换元积分法：换元积分法可分为第一类换元法与第二类换元法。

一、第一类换元法（即凑微分法）

通过凑微分，最后依托于某个积分公式。进而求得原不定积分。例如  。

二、注：第二类换元法的变换式必须可逆，并且  在相应区间上是单调的。

第二类换元法经常用于消去被积函数中的根式。当被积函数是次数很高的二项式的时候，为了避免繁琐的展开式，有时也可以使用第二类换元法求解。常用的换元手段有两种：

1、 根式代换法，

2、 三角代换法。

在实际应用中，代换法最常见的是链式法则，而往往用此代替前面所说的换元。

参考资料：百度百科-不定积分

Answer 2

∫1/x(x²+1)dx的不定积分为1/2ln(x²/(1+x²))+C。

解：∫1/x(x²+1)dx

=∫x/x²*(x²+1)dx

=1/2∫1/x²*(x²+1)dx²

=1/2∫(1/x²-1/(x²+1))dx²

=1/2∫(1/x²)dx²-1/2∫(1/(1+x²))dx²

=1/2ln(x²)-1/2ln(1+x²)+C

=1/2ln(x²/(1+x²))+C

扩展资料：

1、不定积分的性质

（1）函数的和（差）的不定积分等于各个函数的不定积分的和（差）。即：

∫[a(x)±b(x)]dx=∫a(x)dx±∫b(x)dx

（2）求不定积分时，被积函数中的常数因子可以提到积分号外面来。即：

∫k*a(x)dx=k*∫a(x)dx

2、不定积分公式：∫adx=ax+C、∫1/xdx=ln|x|+C、∫e^xdx=e^x+C、∫cosxdx=sinx+C、∫sinxdx=-cosx+C、

3、例题

（1）∫dx=x+C

（2）∫5e^xdx=1/5*e^x+C

（3）∫4*cosxdx=1/4*sinx+C

（4）∫3/xdx=3ln|x|+C

参考资料来源：百度百科-不定积分

Answer 3

∫1/x(x²+1)dx的不定积分为1/2ln(x²/(1+x²))+C。

解答过程如下：

∫1/x(x²+1)dx

=∫x/x²*(x²+1)dx

=1/2∫1/x²*(x²+1)dx²

=1/2∫(1/x²-1/(x²+1))dx²

=1/2∫(1/x²)dx²-1/2∫(1/(1+x²))dx²

=1/2ln(x²)-1/2ln(1+x²)+C

=1/2ln(x²/(1+x²))+C

扩展资料

分部积分：

(uv)'=u'v+uv'

得：u'v=(uv)'-uv'

两边积分得：∫ u'v dx=∫ (uv)' dx - ∫ uv' dx

即：∫ u'v dx = uv - ∫ uv' d,这就是分部积分公式

也可简写为：∫ v du = uv - ∫ u dv

常用积分公式：

1）∫0dx=c 

2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c

3）∫1/xdx=ln|x|+c

4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5）∫e^xdx=e^x+c

6）∫sinxdx=-cosx+c

7）∫cosxdx=sinx+c

8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c

9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c

10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c

Answer 4

∫1/x(x²+1)dx
=∫1/x-x/(x²+1)dx
=∫1/xdx-∫x/(x²＋1)dx
=ln|x|-1/2ln|x²＋1|+c

Answer 5

1/x(x²+1)dx（将分母乘积变为相减的形式）
=∫1/x-x/(x²+1)dx
=∫1/xdx-∫x/(x²＋1)dx
=ln|x|-1/2∫1/(x²＋1)d(x^2+1)
=ln|x|-1/2ln|x²＋1|+c