Question

对于lim[x→0]xsin1/x,为什么化为lim[x→0]（x²sin1/x)/x后上下求导，得

对于lim[x→0]xsin1/x,为什么化为lim[x→0]（x²sin1/x)/x后上下求导，得到lim[x→0]（2xsin1/x-cos1/x）≠0了呢？貌似我用洛必达没错啊？

Answer 1

此题应该是用无穷小量和一个有界的值相乘的极限还是无穷小来解决吧~所以极限是0，洛必达法晌亮则是能化简就先化宴前宽简吧~你这样是复杂悔链化了吧~有想法是好事啊，希望你继续努力吧~我也不好说这道题

Answer 2

原式可化为：lim[x→0][sin(1/x)]/1/x, sin(1/x)在（-1，1）内，x->0时侍握皮，1/x->无穷，

不符合洛必达法则老差，所以，不能用求导的方法；

常数/皮咐无穷型，可直接得出极限为0

追问

我当然知道lim[x→0]xsin1/x=0，我只是问为什么为什么原式化为lim[x→0]（x²sin1/x)/x后上下求导，得到lim[x→0]（2xsin1/x-cos1/x）就不等于零了？

Answer 3

这个太正常了，你做的过程没错，洛必达法则没错。
前面的才是瞎回答了。

追问

那能告诉我怎么回事吗，谢谢！

追答

导数的比的极限存在是原函数的比的极限存在的充分非必要条件。
这里导数的比的极限不存在，但原函数的比的极限存在。这个题用洛必达求不出，只能用别的方法来求。

追问

我在乎的倒不是求不求的出，只是用洛必达后所得的lim[x→0]（2xsin1/x-cos1/x）我觉得应该不为零，这样就和lim[x→0]xsin1/x=0矛盾了，这才是疑问所在……

追答

不矛盾，你仔细看一下洛必达。lim[x→0]（2xsin1/x-cos1/x﹚这个极限不存在。

追问

额，，，我的逻辑是lim[x→0]（2xsin1/x-cos1/x﹚怎么都不一定为零，（可能我想的也有问题，我认为lim[x→0]2xsin1/x=0，lim[x→0]cos1/x不一定为零）您的意思是极限不存在就不考虑等不等于零的问题了。是不是我的想法不太对，我对“极限不存在”是不是理解有问题？（占用你这么多时间，不好意思了）

追答

如果极限为0，不矛盾。如果极限不为0，矛盾。现在是2xsin1/x-cos1/x的变化不趋于一个固定的任意数，就是极限不存在，和定理也不矛盾。