Question

函数f(x)=(1+x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+----x^2012/2012+x^2013/2013)cos2x在区间[-3,3

函数f(x)=(1+x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+----x^2012/2012+x^2013/2013)cos2x在区间[-3,3]上的零点个数为（ ）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个

Answer 1

设h(x)=1+x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+----x^2012/2012+x^2013/2013; g(x)=cos2x
那么f(x)=h(x)g(x)
只要h(x)和g(x)有一个为0，f(x)=0;
当g(x)=0时有x=-3π/4，-π/4。π/4。3π/4 四个零点。
当h(x)=0时
考虑

h`(x)=1-x+x^2-x^3.....+x^2012=(1+x^2013)/(1+x);
-3<=x<-1时 h`(x)>0
x=-1 时 h`(x)=0
-1<x<=3 时 h`(x)>0
可见h`(x)>=0,h(x)单调递增
h（-1）=1-1-1/2-1/3...-1/2013<0
h(0)=1>0,因此h(x)在-1，0之间有且仅有一个零点。
考虑到π是超越数，那么必然=-π/4肯定不是h(x)=0的解，因此
f（x）总共有5个零点
选C

Answer 2

5个，后面的cos2x有4个根，前面那个函数可求出他的导函数是个等比数列，经过计算导函数是大于0的（-1这点单独计算，但不影响连续可可导性，因为是有限项的多项式函数），可以验证前面的多项式函数在-3处是小于0，在正3处是大于0的，所以多项式在区间内有1个根，加一起是5个