Question

设两个非零向量a与b不共线。(1)若AB=a+b，BC=2a+8b，CD=3(a-b)，求证：

设两个非零向量a与b不共线。(1)若AB=a+b，BC=2a+8b，CD=3(a-b)，求证：A、B、D、三点共线；(2)试确定实数K,使Ka-b和a-kb共线

Answer 1

（1）证明 ∵=a+b,=2a+8b,=3(a-b),
∴=+=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5.
∴、共线，
又∵它们有公共点B，∴A、B、D三点共线.
（2）解 ∵ka+b与a+kb共线，
∴存在实数，使ka+b=(a+kb),
即ka+b=a+kb.∴(k-)a=(k-1)b.
∵a、b是不共线的两个非零向量，∴k-=k-1=0，∴k??2-1=0.∴k=±1

Answer 2

我解第一问，第二问有点忘了怎么算了。
先说一下思路。因为要求的是abd三点共线，而不是abcd四点共线，所以要想办法把c点从已知条件中剔除。
解答：因为bc=2a+8b,所以cb=-2a-8b。
bd=cd-cb=(3a+3b)-(-2a-8b)=5a+5b
因为ab=a+b,所以满足存在一个实数5，使bd=5ab=5(a+b).
所以bd与ab共线。
所以abd三点共线

Answer 3

BD=BC+CD=5(a+b）=5AB,所以A,B,D三点共线
2）设存在变量m，使得ka+b=m(a+kb)
对应解得，k=m
km=1
所以k=m=±1
但由于当k=m=1，是两者为同一向量
所以K=-1