Question

已知函数f(x)=e^x-e^-x,判断函数f(x)的奇偶性和单调性

已知函数f(x)=e^x-e^-x,（1）判断函数f(x)的奇偶性和单调性；（2）是否存在实数t,使不等式f(x-t)+f(x^2-t^2)>0对一切x都成立？若存在，求出t,若不存在，说明理由。

Answer 1

（1）因为f(-x)=e^(-x)-e^x=-[e^x-e^(-x)]=-f(x)
所以f(x)是奇函数。
因为f(x+1)-f(x)=e^(x+1)-e^(-x-1)-[e^x-e^(-x)]=e^(x+1)-e^x-[e^(-x-1)-e^(-x)]>0
所以f(x)是增函数
（2）假设存在，则f(x-t)>=-f(x^2-t^2),
f(x-t)>=f[-(x^2-t^2)]
所以x-t>=-(x^2-t^2)
x^2-t^2+x-t >=0
若对一切x都成立，则 1+4(t^2+t)<0 ,即有(2t+1)^2<0

而(2t+1)^2>=0,故假设不成立,所以,不存在t的值.

Answer 2

f(x)=e^|x|,f(-x)=e^|-x|=e^|x|
f(x=f(-x)
所以f(x)为偶函数
当x>0时
f(x)=e^x
对x求一阶导，得到f(x)的一阶导数为e^x>0
所以，当x>0时，f(x)单调增
由于函数为偶函数
关于x轴对称
所以当x<0时，f(x)单调减