Question

反比例函数图像与一次函数图像有交点时,存在相等的两条线段的证明

Answer 1

浙江省杭州市文澜中学初三（10）班（000000）
钟子以　张轶州　陆伊尘
指导教师　王亚权
　　在复习反比例函数图像时我们发现，当反
比例函数图像与一次函数图像有交点时，一定
存在相等的两条线段．
图1
特殊情形　当反比例
函数与正比例函数图像相
交时，不妨设交点在第二、
四象限（如图1），此时，根
据函数图像的对称性可
知：OM＝ON．
一般情形　设反比例
函数y＝k
x
与一次函数y＝ax＋b图像有交点．
探索一　如果直线与双曲线的两个分支
都相交，那么这条直线被双曲线和坐标轴所截
得的两条线段是否相等？
图2
以a＜0，b＞0，k＜0
为例，如图2，过点A 作
AE⊥y 轴于点E，过点B
作BF⊥x 轴于点F，
则交点A，B 的坐标
就是方程组
y＝ax＋b
y＝k 烅
烄
烆x
的
解．
代入后得　ax＋b＝k
x
，
去分母，得ax2＋bx－k＝0．
解得x＝－b±槡△
2a
，
∵　a＜0，
∴　－b－槡△
2a ＞－b＋槡△
2a ．
∴　xA＝－b＋槡△
2a
，xB＝－b－槡△
2a ．
∴　AE＝－xA＝b－槡△
2a
，
　　OF＝xB＝－b－槡△
2a ．
∵　直线y＝ax＋b 与x 轴的交点D 的
坐标为（－b
a
，0），
∴　OD＝－b
a ．
∴　DF＝OF－OD＝ －b－槡△
2a －（－
b
a
）＝b－槡△
2a ．
∴　AE＝DF．
∵　AE⊥y 轴，
∴　AE∥x 轴，∴　∠EAC＝∠FDB．
又∵　BF⊥x 轴，
∴　∠AEC＝∠DFB＝Rt∠．
∴　△AEC≌△DFB，∴　AC＝DB．
图3
探索二　如果直线
与双曲线的一个分支交
于两点，那么这条直线
被双曲线和坐标轴所截
得的两条线段是否相
等？
以a＜0，b＞0，k＞0为例，如图3，同上可求
得，xB＝－b＋槡△
2a
，xC＝－b－槡△
2a
，xD＝－b
a ．
分别过B，C 作BE⊥y 轴于点E，CF⊥x
轴于点F，
∴　DF＝xD －xF ＝－b
a －－b－槡△
2a ＝
－b＋槡△
2a
，BE＝xB＝－b＋槡△
2a ．∴　DF＝BE．
（下转第34页）
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∴　MD 和MQ 为同一条直线．
又点Q、D 均在⊙I上，
∴　点Q 和点D 重合，
故PD 是⊙I的切线．
三、解　由题意知，方程x2＋px＋（k＋1）
p－4＝0的两根x1，x2
中至少有一个为整数．
由根与系数的关系可得
x1＋x2＝－p，x1x2＝（k＋1）p－4，
从而有
（x1＋2）（x2＋2）＝x1x2＋2（x1＋x2）＋4
＝（k－1）p ①
（1）若k＝1，则方程为x2＋px＋2（p－2）
＝0，它有两个整数根－2和2－p．
（2）若k＞1，则k－1＞0．
∵　x1＋x2＝－p 为整数，如果x1，x2
中
至少有一个为整数，则x1，x2
都是整数．
又∵　p 为质数．
由①式知p｜x1＋2或p｜x2＋2．
不妨设p｜x1＋2，则可设x1＋2＝mp（其
中m 为非零整数），
则由①式可得x2＋2＝k－1
m
，
故　（x1＋2）＋（x2＋2）＝mp＋k－1
m
，
即　x1＋x2＋4＝mp＋k－1
m ．
又x1＋x2＝－p，
∴　－p＋4＝mp＋k－1
m
，
即　（m＋1）p＋k－1
m ＝4 ②
如果m 为正整数，
则　（m＋1）p≥（1＋1）×3＝6，k－1
m ＞0，
从而　（m＋1）p＋k－1
m ＞6，与②式矛盾．
如果m 为负整数，则（m＋1）p＜0，k－1
m ＜
0，从而（m＋1）p＋k－1
m ＜0，与②式矛盾．
因此，k＞1时，方程x2＋px＋（k＋1）p－
4＝0不可能有整数根．
综上所述，k＝1．
（北京数学会普委会提供
檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪
）
（上接第35页）
∵　BE⊥y 轴，∴　BE∥x 轴，
∴　∠ABE＝∠CDF．
又∵　CF⊥x 轴，
∴　∠AEB＝∠CFD＝Rt∠．
∴　△AEB≌△CFD．
∴　AB＝CD．
图4
探索三　如果直线与双
曲线只有一个交点，那么这
个交点平分这条直线被两坐
标轴截得的线段？
以a＜0，b＞0，k＞0为
例，如图4，交点C 的坐标就
是方程组　
y＝ax＋b
y＝k 烅
烄
烆x
的解．
代入后，得　ax＋b＝k
x ．
去分母，得　ax2＋bx－k＝0．
∵　直线与双曲线只有一个交点，
∴　△＝0，
∴　xC＝－b
2a．过点C 作CD⊥x 轴于点
D，则xD＝－b
2a．
∵　xB＝－b
a
，
∴　OD＝BD．
∵　CD∥OA，
∴　AC＝BC．
由上可知：如果反比例函数y＝k
x
与一次
函数y＝ax＋b的图像有公共点，那么这条直
线被双曲线和坐标轴所截得的两条线段相等．
（责审　赵大悌）
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Answer 2

设线段与二次函数相交的两点的坐标分别为（x1,y1),(x2,y2)
则该线段长的平方等于（x1-x2)的平方加上(y1-y2)的平方