Question

高中数学导数大题

Answer 1

Answer 2

1.曲线y=f(x)在x=1处的切线与x轴平行 ，
说明曲线在x = 1处的导数值 = 0 ，
f'(x）= e^x[ax^2 + (2a + 1)x + 2] ，由于f'(1) = 0 ，
0 = e·[a + 2a + 1 + 2] ，解得a = -3 ，
2.f(x) = e^x(-3x^2 + x + 1),
f'(x）= e^x[-3x^2 + (2a + 1)x + 2] = -e^x·(x + 2)·(3x - 1)
得到两个零点：-2和1/3 。
在（-∞ ，-2）上 ，f'(x)<0 ；在（-2，1/3）上,f'(x）>0 ；在（1/3 ，+∞）上 ，f'(x)<0 ；
所以f(x)在定义域上的单调区间为：
单调增区间：(-2 ,1/3]
单调减区间：（-∞ ，-2]和(1/3 ，+∞]。
3.代入使f'(x) = 0的两个点：-2、1/3 ，得到：
f(x)min = f(-2) = -13/e^2 ，f(x)max = f(1/3) = e^(1/3) ，
θ= π/4时 ，求证式即0 < 2 ，显然成立，
0 < θ< π/4时 ，0 < sinθ< cosθ< 1/3 ,
|f（cosθ）-f（sinθ）| = f（cosθ）-f（sinθ) < f(1/3) - f(√2/2)
= e^(1/3) - [(√2 - 1)/2]·e^(√2/2) < 2 ，
同理可证 ，当π/4<θ<π/2时 ，不等式仍成立 ，故得证。