Question

如图，已知△ABC中，AB=AC= 5 ，BC=4，点O在BC边上运动，以O为圆心，OA为半径的圆

如图，已知△ABC中，AB=AC=
5
，BC=4，点O在BC边上运动，以O为圆心，OA为半径的圆与边AB交于点D（点A除外），设OB=x，AD=y，
（1）求sin∠ABC的值；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）当点O在BC边上运动时，⊙O是否可能与以C为圆心，
1
4
BC长为半径的⊙C相切？如果可能，请求出两圆相切时x的值；如果不可能，请说明理由．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质；圆与圆的位置关系；锐角三角函数的定义．

专题：综合题．

分析：（1）过点A作AE⊥BC，垂足为E，根据等腰三角形三线合一的性质求出BE的长，再由勾股定理求出AE的长，根据特殊角的三角函数值即可求解；
（2）过点O作OF⊥AD，垂足为F，连接OD，根据等腰三角形的性质可用y表示出AF，DF及BF的值，由相似三角形的判定定理可知△OBF∽△ABE，根据相似三角形的对应边成比例即可得出y与x的函数关系式；
（3）先求出⊙C的半径CP的长，再根据两圆相切时两圆心的距离列方程求解即可．