Question

.已知双曲线C的中心在原点，抛物线y²=2√5x的焦点是双曲线C的一个焦点，且双曲线过点P（1，√3﹚

（1﹚求双曲线的方程（2﹚设直线L:y=kx＋1与双曲线C交于A，B两点，问k取何值时，向量OA⊥向量OB？ 要详细的解题过程哦

Answer 1

抛物线的焦点为（√5/2，0），那么有5/4=a^2+b^2.并且有1/a^2-3/b^2=1.解得a=1/2，b=1.
那么方程式4x^2-y^2=1.

设A，B的坐标为（x1,y1）(x2,y2);由于向量OA⊥向量OB；那么有x1x2+y1y2=1
y=kx＋1代入方程有
（4-k^2）x^2-2kx-2=0,并且x1和x2是此方程两个跟
那么x1x2=-2/（4-k^2）；x1+x2=2k/（4-k^2）
那么y1y2+x1x2=(kx1+1)(kx2+1)+x1x2=(K^2+1)x1x2+k(x!+x2)+1
=-2(K^2+1)/（4-k^2）+2k^2/（4-k^2）+1=0
解得k=根号2.k=-根号2