Question

函数的零点问题

设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，f'（x）是f(x)的导函数，当x∈[0，π]时，0＜f(x)＜1；当x∈（0，π） 且x≠π\2时 ，(x-π\2)f'（x）>0，则函数y=f(x)-sinx在[-2π，2π] 上的零点个数为______

Answer 1

分析：这种求零点问题一般都是用画图来解答，考试当然不能画精确，画草图即可。由题意x∈（0，π） 当x∈（0，π） 且x≠π/2  时，(x-π/2)f′(x)＞0，以π/2 为分界点进行讨论，确定函数的单调性，利用函数的图形，画出草图进行求解

 

解：∵当x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1，f（x）为偶函数，

∴当x∈[-π，2π]时，0＜f（x）＜1；

当x∈（0，π） 且x≠π/2   时，(x-π/2   )f′(x)＞0，∴x∈[0，π/2   ]时，f（x）为单调减函数；x∈[π/2   ，π]时，f（x）为单调增函数，

∵x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1，

在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出y=sinx和y=f（x）草图象如下

由图知y=f（x）-sinx在[-2π，2π]上的零点个数为4个。

图画的不标准，但是答案也能出来，所以这种题一定要学会画图。

若还有疑问可以追问！

Answer 2

函数y=f(x)-sinx在[-2π，2π] 上的零点个数
即方程f(x)-sinx=0的解的个数
即函数y=f(x)和函数y=sinx的交点个数

画出[-2π，2π] 上y=sinx的图象
大致描绘f(x)的图象

因x∈[0，π]时0＜f(x)＜1
而f(x)为偶函数
则x∈[-π，0]时0＜f(x)＜1
于是x∈[-π，π]时0＜f(x)＜1
又f(x)=f(x+2π)
则x∈[-2π，2π]时0＜f(x)＜1

因x∈(0，π) 且x≠π\2时 ，(x-π/2)f'(x)>0
即x∈(0，π/2)时f'(x)>0，则f(x)递增
且x∈(π/2，π)时f'(x)<0，则f(x)递减
表明函数y=f(x)和函数y=sinx在x∈(0，π)时只有2个交点

因函数y=f(x)和函数y=sinx均为周期T=2π的周期函数
所以函数y=f(x)和函数y=sinx在[-2π，2π] 上有4个交点
即函数y=f(x)-sinx在[-2π，2π] 上有4个零点

Answer 3